Magno Ludo Viciens Achille et la Tortue prennent le thé dans l'appartement richement fourni de La Tortue. Achille : Dis-moi, je n'avais jamais remarqué ce superbe échiquier que tu as là. «a doit valoir une fortune. La Tortue : Il paraît. Je trouve que cette combinaison de l'albâtre et du lapis-lazuli est du plus bel effet. Mais je ne l'ai pas acheté - c'est d'ailleurs largement au-delà de mes moyens -, je l'ai gagné. Achille : Tu as participé à un tournoi d'échecs ? La Tortue : C'étaient bien des échecs, mais c'est un peu plus compliqué. J'ai parié avec quelqu'un que je pouvais jouer simultanément contre James Robert Fischer et Garry Kasparov, et faire au pire une défaite et une victoire ou bien deux matchs nuls. J'avais droit à cinq secondes de réflexion supplémentaire pour chaque coup en raison de ma lenteur naturelle, mais en contrepartie je devais jouer à l'aveugle alors qu'ils avaient tous deux droit à un échiquier. J'ai aussi généreusement laissé les blancs à Kasparov - mais je les ai gardés contre Fischer. Achille (ahuri) : Et tu as gagné dans ces conditions ? Je savais que tu n'étais pas mauvaise, mais là vraiment je tombe des nues. ¿ l'aveugle contre Fischer et Kasparov simultanément ? La Tortue : Je n'ai fait que deux matchs nuls. La vraie difficulté, d'ailleurs, a été de persuader Fischer et Kasparov d'accepter ce match. Il a fallu offrir cinq millions de dollars à Kasparov, et pour Fischer il fallait que la partie ait lieu un jour faste, que les journalistes en soient exclus, que l'éclairage soit parfait, et encore quantité d'autres choses. Quand il a vu que j'étais une tortue, il a menacé de partir. Non, crois-moi, obtenir le nul deux fois était extrêmement facile en comparaison avec tout cela. Achille : J'ai peine à te croire. La Tortue : Vraiment ? Si tu veux je t'apprendrai. C'est un jeu d'enfant. Achille (de plus en plus ahuri) : Pardon ? Non seulement tu es capable de faire match nul contre des Grands-Maîtres des échecs, mais en plus tu es si sûre de toi que tu te proposes de m'apprendre la même chose, à moi qui ne connais pas plus des échecs que les règles ? Tu connais un truc pour faire match nul à tous les coups aux échecs ? La Tortue : Certainement pas ! Mais je ne jouais pas aux échecs. Je jouais à la différence de deux jeux d'échecs, et c'est trivialement un jeu nul, fût-ce contre Fischer et Kasparov réunis. Achille : Je ne suis pas sûr de bien comprendre. La Tortue : Bien Entendu. Rien d'Utile ne te semble jamais évident. Quoi qu'il en soit, je ne serais évidemment pas capable de battre Kasparov aux échecs ou même de faire match nul. Sauf si on me donne un handicap. Achille : Un handicap ? Une reine de plus par exemple ? La Tortue : Par exemple. On pourrait m'autoriser un "coup magique"' consistant à faire apparaître une reine à ma convenance sur l'échiquier ou à faire disparaître une reine de l'adversaire. Ce serait un handicap considérable. Je ne sais pas s'il serait suffisant. Achille : Même s'il n'est pas suffisant, on peut te donner le handicap de deux coups magiques de la même nature. La Tortue : Cette fois, ça risquerait d'être trop. Mais on pourrait me donner un coup magique et demi d'avance. Achille : Un coup et demi ? Comment on fait ça ? La deuxième fois tu dois tirer à pile ou face pour savoir si tu peux faire ton coup ? La Tortue : Sûrement pas. Ce serait introduire le hasard de façon indésirable. Non, me donner un coup magique et demi d'avantage, ça fonctionne comme ceci : je peux faire deux coups magiques, mais mon adversaire peut aussi en faire un, et un seul, à condition que je n'en aie pas encore fait un. Achille (perplexe) : Et pourquoi précisément cette règle ? La Tortue : Changeons de jeu si tu veux bien. Les échecs me lassent. Jouons au jeu de Hackenbush. Achille (inquiet) : AÔe ! En général les jeux que tu me proposes sont si compliqués que je n'arrive même pas à en comprendre les règles. La Tortue (amusée) : Rassure-toi, il y a peu de jeux dont les règles sont plus simples que celles du Hackenbush. On part d'un petit dessin formé de traits bleus et rouges, tous reliés directement ou indirectement au bas du dessin, appelé la terre. Comme Virus n'a pas les moyens de s'offrir la couleur, les traits bleus seront noirs et les rouges seront blancs. Lorsque c'est à mon tour de jouer, je retire un trait bleu de la figure, et je retire aussi tous les traits qui de ce fait ne sont plus connectés à la terre. Puis à ton tour tu fais de même pour un trait rouge. Celui qui ne peut plus jouer est le perdant. Achille : Dis, ça me rappelle le jeu de Marienbad (Voir Virus numéro 9) qui m'avait tant fait souffrir. La Tortue : te-toi ces idées négatives de la tête. Nous allons commencer par un dessin très simple : un seul trait bleu. Achille : Mais c'est injuste ! La Tortue : Pourquoi ? Achille : Parce que tu as le droit de l'enlever et pas moi. La Tortue : En effet. Si je commence, je retire ce trait et je gagne parce que tu ne peux pas jouer. Si tu commences, tu as tout de suite perdu parce que tu ne peux pas jouer. Achille : Je n'aime pas tellement ton jeu. La Tortue : Sur ce dessin là, j'ai un net avantage. On dira que j'ai un avantage d'un coup. Maintenant, si je rajoute un trait rouge à côté du trait bleu... Achille : Alors là c'est tout de suite plus juste. Si tu commences tu retires le trait bleu puis moi je retire le rouge et tu as perdu... La Tortue : Tandis que si je commence, je retire le trait bleu, et toi le rouge et c'est moi qui gagne. Achille : En tout cas ce n'est pas bien passionnant. Un trait rouge et un trait bleu ça fait un match nul. La Tortue : En es-tu si sûr ? Et si je mets le trait rouge au-dessus du trait bleu plutôt qu'à côté, de sorte qu'au lieu d'être directement relié à la terre il l'est par l'intermédiaire du trait bleu. Achille : Je ne vois pas ce que ça change. La Tortue : Eh bien si je commence et que je retire le trait bleu, le trait rouge disparaît par la même occasion parce qu'il n'est plus relié à la terre. Donc tu as perdu. Achille : Tandis que si je commence je retire le trait rouge et le trait bleu reste, lui. Alors tu le retires et tu gagnes. Encore une fois, c'est injuste. La Tortue : Oui mais l'est-ce autant qu'auparavant ? Achille : Dans quel sens ? La Tortue : Un trait bleu seul me fait gagner, et un trait rouge à côté le compense. Un trait bleu surmonté d'un trait rouge me fait aussi gagner - qu'en est-il si on rajoute un autre trait rouge à côté ? Autrement dit, que se passe-t-il si on part d'un trait bleu et de deux traits rouges, l'un au-dessus du bleu et l'autre à côté ? Achille : Alors si tu commences tu n'as pas d'autre choix que de retirer le trait bleu et du même coup le trait rouge qui est dessus ; et moi je peux alors retirer l'autre trait rouge et j'ai gagné. Tandis que si je commence alors je retire le trait rouge au-dessus du trait bleu parce que c'est le plus vulnérable, puis tu retires le trait bleu, et je retire l'autre trait rouge, et j'ai encore gagné. La Tortue : Ainsi, un trait bleu surmonté d'un rouge, c'est un avantage pour les bleus mais il est moins fort qu'un trait bleu simple puisqu'il n'assure pas le nul contre un trait rouge seul. Maintenant, que se passe-t-il si je mets deux traits bleus chacun surmontés d'un trait rouge et un trait rouge isolé ? Achille : Si tu commences, tu retires un des bleus, ainsi que le rouge qui est au-dessus. Puis je retire le rouge qui est au-dessus de l'autre bleu, puis toi le bleu en question, et moi le rouge et je gagne. Si je commence, je retire un des rouges qui surmonte un des bleus, puis tu retires l'autre bleu avec un rouge du même coup, puis je retire le dernier rouge et tu retires le dernier bleu, et tu as gagné. Donc c'est celui qui commence qui perd. La Tortue : Et c'est encore une fois un jeu nul, c'est-à-dire équitable, parce qu'aucun des participants n'a d'avantage particulier sur l'autre. Ce qui explique qu'un trait bleu surmonté d'un trait rouge soit considéré comme un avantage d'un demi-coup pour les bleus. Achille : Tiens, oui. Et on peut toujours affecter une valeur à une situation au Hackenbush comme ça ? La Tortue : Toujours. Si elle est strictement positive, les bleus ont une stratégie gagnante ; si elle est strictement négative, ce sont les rouges qui en ont une ; et si elle est nulle, c'est le second joueur qui a une stratégie gagnante, que ce soit les bleus ou les rouges. Achille : Mais ce n'est pas très drôle, un jeu où un joueur a une stratégie gagnante, que ce soit les bleus, les rouges, ou le second joueur. La Tortue : Et pourtant il faut bien qu'il en soit ainsi. Dans un jeu sans progression infinie possible, qui ne connaît pas le match nul, et dont les règles ne comportent aucun élément de hasard ni aucune variable cachée, un des deux joueurs a forcément une stratégie gagnante. Aux échecs, il est certain que soit les blancs ont une stratégie gagnante, soit les noirs en ont une, soit chaque joueur a une stratégie permettant de forcer le nul, et une seule de ces trois possibilités se produit. Personne ne sait laquelle, bien sûr, et encore moins quelle serait la stratégie, mais il est sûr qu'il en existe une. Et ça n'empêche pas les gens de jouer aux échecs. Au jeu du renard et des oies, un jeu qui remonte au Moyen-¬ge, une stratégie gagnante pour les oies est même connue, comme quoi la théorie ne s'applique pas qu'à des jeux mathématiquement inventés. Achille : Soit. Mais revenons au Hackenbush. Il n'y a pas de situation où c'est le joueur qui commence qui gagne ? La Tortue : Pas dans le jeu tel que je l'ai décrit. C'est un jeu "froid" selon Conway. Mais on peut le réchauffer en introduisant un nouveau type de traits, des traits verts, que chacun des deux joueurs peut attraper. (Et comme Virus n'a pas non plus de vert, ils sont représentés en trait fin.) De façon très simplifiée, les traits verts ne donnent pas vraiment d'avantage ni aux bleus ni aux rouges mais ils rendent le jeu plus violent parce que chacun des deux joueurs va vouloir les retirer le premier. Achille : Si je prends une situation formée d'un seul trait vert, alors le premier à jouer va retirer ce trait et va gagner. C'est donc bien le premier joueur qui gagne cette fois. On dit aussi que le jeu est nul ? La Tortue : Non. Un jeu nul c'est un jeu qui est gagné par le second joueur. Un jeu positif c'est un jeu gagné par les bleus et un jeu négatif c'est un jeu gagné par les rouges. Un jeu qui est gagné par le premier joueur, on dit qu'il est flou. Achille : Je ne vois pas trop l'intérêt. Qu'est-ce que ça change que ça soit le premier ou le second joueur. Dans tous les cas le jeu est équitable, non ? La Tortue : En es-tu si sûr ? Et si je mets un trait bleu au-dessus d'un trait vert ? Achille : Je suppose que les bleus ont l'avantage. Voyons. Si tu commences, tu retires le trait vert (et le trait bleu du même coup), et tu gagnes. Tandis que si je commence, je dois retirer le trait vert (et le trait bleu aussi), et je gagne aussi. Bref, c'est celui qui commence qui gagne. La Tortue : C'est un jeu flou. Mais maintenant supposons que je mette deux traits verts sur le sol, chacun surmonté d'un trait bleu. Achille : Dans ce cas, si tu commences, tu retires un trait bleu plutôt qu'un trait vert (de peur de perdre aussitôt). Alors je retire un trait vert quelconque et tu retires l'autre et tu gagnes. En revanche, si je commence, je retire un trait vert, et tu retires l'autre, et... tiens ! tu gagnes encore. Le jeu est donc positif. La Tortue : Et voilà. Chacune de ces tours d'un trait vert surmonté d'un trait bleu est floue, mais la somme de deux d'entre elles, ou encore la somme d'une telle tour et d'un simple trait vert, est positive. La somme de deux simples traits verts est nulle, d'ailleurs, alors que chacun est flou. Achille : Bref, ce ne sont plus des nombres, et les choses se compliquent énormément. La Tortue : Précisément. Conway, qui est l'inventeur de toute cette théorie délirante, leur donne des noms bizarres. Le trait vert seul s'appelle étoile, de sorte que étoile plus étoile égale zéro, tandis que étoile n'est pas égale à zéro. Le trait vert surmonté d'un trait bleu s'appelle up étoile. La somme de up étoile et de étoile est un jeu positif appelé up, qui est donc formé d'un trait vert surmonté d'un trait bleu et d'un autre trait vert. Achille : Alors ``up'' c'est un jeu positif mais il n'a pas de valeur ? La Tortue : C'est assez spécial. Il vaut moins d'un coup : si tu mets un trait vert surmonté d'un trait bleu, un autre trait vert à côté, et un trait rouge encore à côté, alors les rouges gagnent par un avantage de un coup moins up. Mais up vaut même moins d'un demi-coup, car si on rajoute un trait bleu au-dessus du trait rouge, les rouges gagnent encore. Et up vaut même moins d'un quart de coup, car si on rajoute encore un trait bleu au-dessus de l'autre trait bleu au-dessus du trait rouge, les rouges gagnent encore. Et up vaut même moins d'un huitième de trait bleu, ou un seixième, etc. Achille : Donc up, c'est un tout petit avantage. La Tortue : Extrêmement petit. Il vaut même moins d'un oméga-ième de coup. Achille (vaguement inquiet) : Un oméga-ième ? La Tortue : Un oméga-ième de coup pour les rouges (donc la valeur -1/w), c'est un trait rouge surmonté d'un trait bleu surmonté d'un autre trait bleu, surmonté d'un autre trait bleu, etc. Achille (furieux) : Ah non ! Tu ne vas pas te remettre à parler d'ordinaux ! (Voir Virus numéro 16) J'en ai eu assez la dernière fois. La Tortue (faussement innocente) : Ce ne sont pas des ordinaux, ce sont des jeux de Conway. C'est un peu différent: tous les ordinaux sont des jeux de Conway, mais il y a beaucoup plus de jeux de Conway que d'ordi... Achille (la coupe) : Tu as (Bravo !) Encore Réussi à Utiliser ma naÔveté pour détourner le sujet de la conversation. Le jeu de Hackenbush est peut-être plus simple que le jeu du Marienbad... La Tortue : Il n'est pas plus simple : jouer au Hackenbush en partant de colonnes de traits verts (1, 3, 5 et 7 traits), c'est exactement jouer au Marienbad. Achille (l'ignore) : En tout cas j'en ai eu assez. Mais dis-moi plutôt comment tu as fait pour jouer contre Fischer et Kasparov ? La Tortue : Tu aurais pu deviner par toi-même. Chaque fois que Fischer faisait un coup, je jouais ce coup contre Kasparov, et vice versa. Achille se frappe le front et soupire très profondément. Il termine sa tasse de thé sans plus rien dire.

Virus - trimestriel du lycée Louis-le-Grand - Novembre 98